Выпуск № 8 (333) | 1966 - страница 24

Лад формируется как обобщение типичных интонаций¹; это справедливо не только для понятия лада вообще, но и для конкретной «жизни» данного лада в творчестве того или иного композитора и даже в пределах группы произведений (а то и одного произведения). Наглядное представление об имеющихся и отсутствующих высотных отношениях в рассматриваемой музыке и способен дать ориентированный граф. Его можно охватить «одним взглядом», оценить мгновенно, и в этом его преимущество перед другими формами передачи той же информации.

Констатировать наличие и отсутствие тех или иных ступеневых связей для характеристики лада явно недостаточно. В каждом конкретном случае очень существенно относительное количество различных интервалов². Здесь уместно воспользоваться матричным представлением, которое широко применяется во многих разделах математики³. Составляется таблица, в горизонтальном ряду которой выписываются начальные ступени мелодического интервала, а в вертикальном — последующие. Число в точке пересечения соответствующих вертикали и горизонтали указывает, сколько раз встретился данный интервал в мелодии⁴. Для приведенной темы (3) матрица имеет вид (6).

Схема

Матрица наталкивает на дополнительные (к ранее сделанным по графу) выводы: наиболее важную роль в мелодии играет нисходящая секунда 6 -> 5; дважды использован и обратный ход 5 -> 6; обращает на себя внимание тот факт, что все остальные интервалы (их шесть) встречаются лишь однократно.

Интерес представляет матрица, обобщающая материал группы сочинений. Приведем сводную матрицу наиболее употребительных (от max до 1/2 max) мелодических интервалов в минорных темах фортепианных фуг ор. 87 Шостаковича (7). Знаком « + » отмечены интервалы, число которых < 1/2 max.

Схема

Таблица многое выявляет, уточняет и подтверждает — начиная с достаточно известного преобладания секунд, то есть поступенности, и включая такие совсем не самоочевидные явления, как преобладание над прочими очень характерного русско-песенного интервала 3 -> 1 среди несекундовых (при значительно меньшем количестве интервалов 3 -> 2 и 2 -> 1).

Рассмотрим теперь матрицы, отражающие ладоинтервальное содержание тем из фуг «Хорошо темперированного клавира» Баха: До мажор, т. 1 (8), до диез минор, т. 1 (9), Ля бемоль мажор, т. 1 (10) и до минор, т. II (11).

Схемы

_________

¹ См. Л. Мазель. «О мелодии». М., Музгиз, 1952, стр. 39.

² Здесь же рассматривается вопрос о месте использования интервала, хотя очевидно, что для начальных, продолжающих, кульминационных, заключительных частей мелодии будут типичны разные интервалы.

³ См., например, У. Росс Эшби. «Введение в кибернетику». М., «Иностранная литература», 1959

⁴ У Эшби матрица заключает лишь ту же инфорацию, что и граф: имеющиеся связи отмечают плюсом, отсутствующие — нолем. Поскольку мы ставим себе статистическую задачу, вместо плюсов в матрицу вписываются либо абсолютные количества встречающихся переходов со ступени на ступень, либо же величины в процентном выражении.

Схема

Кроме 0 и 1, в них нет других чисел. Это значит, что каждая ладовая интонация (имея в виду ее ступеневое содержание и направление, так что, например, 2 -> 3 ≠ 3 -> 2) используется в теме однократно. Тем же свойством отличаются в первом томе и темы фуг Ми бемоль мажор, соль диез минор, Ля мажор, си бемоль минор, а во втором — До мажор, До диез мажор, Ре мажор, Ми мажор, фа минор, Ля бемоль мажор, си бемоль минор, Си мажор и си минор. Словом, многие. Сверх того есть немало тем, в которых описанное свойство нарушается лишь по одному разу, и, как правило, в связи с ходом к терции лада (минорные фуги ре, ми бемоль, соль из I тома и ре диез, фа диез, соль и ля — из II). Заметим, что в большей части случаев повторена начальная или заключительная интонация темы.

Сама по себе неповторность мелодического хода (не встречающаяся, кстати сказать, в противосложениях и интермедийном материале, если только он не связан с темой) подтверждает смысловую концентрированность, сгущенность, весьма уместную именно в теме.

«Хорошо темперированный клавир» был завершен в 1722 году. Лишь немногим позже (в 1736 году) появилась первая работа по теории графов, написанная Л. Эйлером — выдающимся швейцарским математиком, почти всю свою сознательную жизнь проработавшим в Петербургской академии наук. Начав с рассмотрения популярной «задачи о кенигсбергских мостах»¹, ученый решил более общую и весьма важную задачу: он выяснил условия, при которых возможно найти непрерывный путь по ребрам графа, чтобы каждое ребро проходилось лишь однократно. Такой путь называют теперь эйлеровой линией. Ясно, что графы перечисленных выше баховских тем с неповторяемыми интонациями являются — если учесть ориентирование ребер — эйлеровыми².

Сделаем в заключение еще два замечания.

Первое касается объективности, с какой граф и матрица запечатлевают в себе свойства музыкальной ткани. Обе эти формы отражают свойства музыки независимо от того, сколь тонок слух их составителя и каковы его эстетические позиции.

Второе замечание — о роли графического и матричного представления в работе музыковеда. Такое средство представляет собой «орудие», позволяющее собрать очень рассредоточенные и смешанные с многообразной иной информацией сведения о звуковысотном развитии. Но его никак нельзя назвать ни методом, ни приемом работы, оно лишь существенно помогает музыковеду. Вероятно, графы и тем более матрицы в будущем позволят нашему музыкознанию использовать и электронно-вычислительные машины. Однако и работая «вручную», можно получить еще много новых и интересных результатов.

_________

¹ Существо задачи в поиске такого маршрута, который проходил бы по одному разу через каждый из семи мостов, связывающих части города на двух берегах и двух островах. В развлекательной форме задачи отразились типичные для того времени устремления (отнюдь не только в области математики) к наиболее рациональным, предельно разумным решениям.

² Наряду с эйлеровыми линиями на графе могут быть найдены также и гамильтоновы линии, проходящие однократно через каждую вершину. Нетрудно видеть, что мелодическая интерпретация гамильтоновой линии дает последовательность неповторяемых звуков.

Содержание
Увеличить
Как книга
Как текст
Сетка

Схема

Схема

Схемы

Схема

Содержание