Я вынул из головы шар.
Даниил Хармс. «Математик и Андрей Семёнович» [6, 20]

Музыка и математика неотделимы друг от дру­га во многих (если не во всех) культурах. Еще во времена Платона они мыслились родствен­ными науками [7, 46]. Объективная первооснова этого родства заключена в зависимости между высотой звука и пропорциями частей звучащего тела. Как итог — все распространенные представления о звуко­вы­сотном устройстве музыки (звукоряде, ин­тервалах и прочем) были выведены из после­довательности обертонов [7, 106–107]. Поэ­тому создание и постижение музыки матема­тическими (в особенности геометрическими) средствами естественно ¹. Вернувшись к таким представлениям, мы можем увидеть «геометрию музыки» и услышать «музыку геометрии».

Настоящая работа посвящена технике му­зыкальных икосаэдров — оригинальному спо­собу создания музыкальных композиций. Осно­вой данной техники является икосаэдр с приписанными его вершинам двенадцатью различными звуками хроматической гаммы в равномерно темперированном строе. С каж­дой гранью икосаэдра связывается ак­корд из трех звуков, соотносящихся с ее вершинами. Для создания гармониче­ских последовательностей будущего сочинения выбирается путь, проходящий по всем граням икосаэдра однократно.

С икосаэдром можно производить различные операции, которые преобразуют одну гармоническую последовательность в дру­­гую. Первый тип изменений связан с умень­шением множества граней, при кото­ром они объединяются в одну плоскость. В результате получается цепочка аккордов из четырех и более звуков в каждом. Другой тип изменений происходит из симметрий икосаэдра. Переставляя двенадцать звуков в вершинах икосаэдра с помощью каждой его симметрии, мы преобразовываем соответствующую последовательность аккордов.

Целью работы является не только представление техники музыкальных икосаэдров, но также обзор других, которые явились ис­точниками вдохновения для автора исследования. Первая из них — Tonnetz математика Леонарда Эйлера [12]; еще две созданы композиторами: дальнейшая разработка Tonnetz Дмитрия Тимочко и принцип «магических звезд» Сергея Загния ².

Как известно, додекафония основана на сериях из 12 тонов, с которыми могут производиться различные операции ³ [7, 425]. Ее восприятие базируется на распознавании серии в различных ее вариантах и их наслаивании, как в полифонии, — мы слышим музыку комбинаторики (раздела математики), которую нужно не только слушать, но и вычислять. Математически постигаемы и композиции Загния, и те, что сочинены с помощью авторской техники икосаэдров. В системе «магических звезд» это будет музыка арифметики (числа на сторонах «звезд» подчиняются арифметическому закону равной суммы) и гео­метрии («звезды» являются объединени­ем двух правильных треугольников, обладающих симметриями), сплетенные вместе. А в системе музыкальных икосаэдров это музыка симметрий икосаэдров и додекаэдров. Ее можно считать музыкой сфер в том смысле, в котором ее понимали древнегреческие философы. К ней отсылает известное изображение орбит планет из диссертации Иоганна Кеп­лера (см. илл. 9). Так что техника музыкальных икосаэдров, помимо математической составляющей, включает в себя также и философский аспект.

Несмотря на свою связь с античными фи­ло­софскими идеями и техникой додека­фо­нии, авторский принцип музыкальных ико­саэд­ров не позиционируется как часть иск­лю­чительно европейской культуры. На­пом­ним, что двенадцать хроматических тонов не яв­ляются лишь ее открытием или индика­тором. Так, в Древнем Китае было создано учение о 12 тонах «люй-люй», которое пришло сна­­ча­ла в Корею, а затем в Японию. Около XVI ве­ка (приблизительно в одно время с евро­пейцами) в Поднебесной был сформирован равномерно темперированный строй [2, 187–190]. Техника музыкальных ико­саэд­ров может быть реализована в различных видах темперации, а также в условиях микро­хроматики.

Отметим, что музыкальные икосаэдры ста­ли предметом исследования в недавней се­рии работ ([15], [16], [17]), но с иной стороны: как вспомогательное теоретическое средство для гармонического анализа различных произведений, не только европейских, но и индийских. В указанных статьях не рассматривается возможность выведе­ния гармонических последовательностей, представленная в настоящей публикации.

Tonnetz Леонарда Эйлера

Геометрически визуализировать гармонический план музыкального произведения можно при помощи конструкции Tonnetz (нем. звуковая сеть), разработанной математиком Леонардом Эйлером в 1739 году [12] (см. илл. 1). Множество теоретиков музыки, включая Карла Эрнста Наумана, Артура фон Эттингена, Гуго Римана, Ричарда Кона, Дмитрия Тимочко и других, исследовали различные способы применения и предлагали возможные пути развития Tonnetz. В данной статье не рассматриваются исторические аспекты ее формирования — их читатель может почерпнуть из статьи Ричарда Кона [11]. Уделим внимание только равномерно темперированной версии, а не исходной Tonnetz Эйлера ⁴, в которой использовался чистый строй ⁵. Как будет показано ниже, такое условие не является ограничительным в непрерывной версии Ton­netz. Оно лишь устанавливает цену де­ления — полутон.

Tonnetz представляет собой бесконечную треугольную ⁶ решетку на плоскости с узлами, каждому из которых приписан один из двенадцати звуков хроматической гаммы в равномерно темперированном строе, причем таким образом, что звуки в вершинах каждого треугольника складываются во всевозможные мажорные или минорные трезвучия (октавное положение высот не учитывается). Более того, любой паре соседних по стороне треугольников соответствуют трезвучия, имеющие по два общих звука. Отличающиеся звуки граничащих аккордов отстают на полтона или тон друг от друга. Путе­шествуя по ячейкам решетки, мы получаем некие гармонические последовательности. Таким образом, плавное передвижение по сетке обеспечивает плавное соединение голосов.

Рассмотрим данную конструкцию более подробно. Обозначим произвольную вер­ши­ну бесконечной треугольной решетки на плоскости звуком c (на иллюстрации 1 он выделен утолщенной обводкой). Каждый следующий узел справа на горизонтальной оси (синие прямые) является звуком квинтой выше (g, d, a, …), каждый следующий узел выше вдоль прямой с правым наклоном (зеленые прямые) — на малую терцию (или увеличенную секунду) выше (dis/es, fis/ges, a, …). В результате получится Tonnetz. Легко проверить, что интервал, образуемый любыми двумя со­сед­ними узлами на наклоненной влево прямой (красные прямые), является нисходящей боль­шой терцией (или уменьшенной квартой) от исходной точки.

Два соседних по стороне треугольника соответствуют мажорному и минорному тре­звучиям. Это обусловлено тем, что при отражении любого треугольника относительно одной из его сторон терцовый состав «переворачивается»: например, малая терция, расположенная под большой, займет верхнее положение. Таким образом, можно раскрасить обозначения трезвучий в треугольниках Tonnetz в шахматном порядке в два цвета — темно-фио­ле­то­вый и зелено-голубой (см. илл. 1) 7.

Очень важным свойством Tonnetz Эйле­ра является периодичность. На иллюстрации 1 фиолетовым цветом выделен параллелограмм, который называется фундаментальной областью данной треугольной решетки. Это означает, что, взяв параллельные копии такого параллелограмма (вместе с названиями нот в узлах), можно полностью восстановить всю Tonnetz. Отсюда следует, что бесконечная треугольная решетка в совокупности содержит ровно столько же информации, сколько ее представлено на конечной фундаментальной области. Чтобы соответствие стало однозначным, необходимо склеить узлы с одинаковыми звуками на границах фио­летового параллелограмма. Удобно представлять этот процесс в два этапа: сначала соединить одну пару противоположных сторон, получив трубу, а затем отождествить края этой трубы без перекручиваний (см. илл. 2). В результате получится хорошо известный в геометрии и топологии объект, называемый двумерным тором. В нем, разбитом на 24 треугольника, содержится вся существенная информация о Tonnetz. На иллюстрации 3 изображен тор ⁸, образованный путем склейки противоположных сторон большого параллелограмма 4 × 24, который, в свою очередь, составлен из восьми копий малого, 4 × 3, изображенного на иллюстрации 2.

Илл. 1. Tonnetz в равномерной темперации
Fig. 1. Tonnetz in equal temperament

Илл. 2. Фундаментальный параллелограмм Tonnetz
Fig. 2. The fundamental parallelogram of the Tonnetz

С треугольной Tonnetz естественно ассоциирована шестиугольная ⁹, вершины которой являются центрами треугольников. При­чем две вершины такой решетки соеди­нены ребром, только когда соответствую­щие треугольники имеют общее ребро. В этой ситуации треугольная и шестиугольная Ton­netz называются двойственными друг другу. Чтобы увидеть шестиугольную Tonnetz, на ил­лю­страции 1 читателю следует соединить центры смежных по стороне правильных треугольников (в которых располагаются трезвучия) отрезками. При этом в вершинах будут стоять трезвучия, а в шестиугольных ячейках — отдельные звуки. Как и в случае с треугольной Tonnetz, склеивание одинаковых звуков в шестиугольной решетке приведет к образованию двумерного тора, разбитого теперь на шестиугольники.

Конечно, на Tonnetz также можно рассматривать аккордовые последовательности, состоящие из большего числа звуков. К примеру, C₇ (малый мажорный септаккорд от с) образуется путем объединения треугольни­ка, которому соответствует C⁵₃ (мажорное трезвучие от с), и ребрá, соединяющего зву­ки g и ais. В силу периодичности Tonnetz этот фрагмент будет встречаться бесконечное число раз. На фиолетовом фундаментальном параллелограмме он представ­ляется в единственном экземпляре. Таким образом, Tonnetz позволяет представить зву­чание му­зыкального произведения в виде дви­жущегося «калейдоскопа» плоских гео­мет­ри­ческих фигур. В качестве наглядных при­меров отсылаем читателя к видеовизуализациям гармонических структур известных со­чинений: «Gymnopédie № 1» Эрика Сати ¹⁰ и Этюд op. 25 № 12 Фредерика Шопе­на ¹¹. Можно провести творческие эксперименты с Tonnetz, «путешествуя» по звукам треуголь­ной решетки в согласии со своей геомет­рической интуицией — для этого достаточно запустить программу в веб-браузере ¹².

Мы подробно рассмотрели конструкцию равномерно темперированной версии Ton­netz Эйлера. Она не только дает возможность визуализировать музыкальные произведения, но и является «творческой лабораторией», важным рабочим инструментом которой служит геометрическая интуиция. Tonnetz как бы устанавливает мост между музыкой и геометрией. Эта идея служит лейтмотивом, пронизывающим дальнейшие разделы статьи.

Музыкальные решетки, орбифолды и модифицированная Tonnetz Дмитрия Тимочко

Идея Tonnetz Эйлера продолжает вдохновлять как математиков, так и теоретиков музыки ([10], [18], [21], [27]). В своей статье Дмит­рий Тимочко приводит разработку Tonnetz для аккордов любого состава [24]. Конструкция Тимочко основана на теории музыкальных решеток ¹³ (не путать с Tonnetz), применениям которой посвящена его монография [23]. Кратко напомним ее основные идеи.

Рассмотрим прямоугольную систему координат в n-мерном пространстве, в которой каждая ось отвечает определенному голосу аккорда, причем координата на оси соответствует некоторому значению в герцах. Так, один звук кодируется точкой на прямой, интервал — точкой плоскости, трезвучие — точкой трехмерного пространства, и так далее. Отметим на каждой оси по 12 высот хроматического звукоряда равномерно темперированного строя целыми числами ¹⁴ (…, –1 = h, 0 = с, 1 = cis, 2 = d, …, 12 = h, 13 = c, …) и образуем соответствующую целочисленную решетку, которую в последующем будем называть музыкальной. Она периодическая по модулю сдвигов на октавы, которые мы игнорируем. Таким образом, нужно склеить все точки пространства, отличающиеся друг от друга сдвигом на вектор с целочисленными координатами. Проделав эту операцию с отдельными звуками (при n = 1), получим окружность (которую также называют одномерным тором). Действительно, каждый такой звук можно представить точкой на отрезке, например, от c¹ до с². Чтобы соответствие стало однозначным, необходимо склеить концы отрезка, поскольку они кодируют один и тот же звук c (см. илл. 4). Если применить данную процедуру к интервалам (n = 2), образуется другой геометрический объект — двумерный тор (склеивание противоположных сторон квадрата на илл. 5). То же к трехзвучным аккордам (n = 3) даст трехмерный тор, получаемый соединением противоположных граней трехмерного куба, и так далее ¹⁵.

Илл. 3. Tonnetz на двумерном торе
Fig. 3. Tonnetz on a two-dimensional torus

Илл. 4. Одномерный тор, соответствующий одномерной музыкальной решетке
Fig. 4. The one-dimensional torus corresponding to the one-dimensional musical lattice

Далее Тимочко переходит к еще более экономной модели: он предлагает не различать порядок звуков в аккорде. Геометрически это означает, что в уже построенном n-мерном (при n > 1) торе нужно сделать дополнительные отождествления точек. Рассмотрим более подробно случай n = 2. Необходимо склеить каждую точку (x, y) c точкой (y, x) (см. илл. 5). Для этого нужно совместить не только противоположные стороны квадра­та, но также и точки, получаемые друг из друга отражением относительно фиолетовой диагонали. На иллюстрации 6 одинаковыми стрелками показаны соответствующие соединяющиеся стороны. Сначала отождествим симметричные относительно прерывистой пунктирной диагонали точки квадра­та, получив треугольник. Затем разрежем его пополам. После этого склеим стороны, поме­ченные одной стрелкой, и получим квадрат, две противоположные стороны которого (отмечены тремя стрелками) нужно соединить с перекрутом. Результат последнего, по определению, — лента Мёбиуса (см. илл. 7).

Илл. 5. Фундаментальный квадрат двумерной музыкальной решетки
Fig. 5. The fundamental square of the two-dimensional musical lattice

Илл. 6. Доказательство того, что двумерный тор, в котором отождествлены точки, симметричные относительно прерывистой диагональной линии (крайний левый квадрат), является лентой Мёбиуса
Fig. 6. Proof that a two-dimensional torus, in which points symmetric with respect to the dashed diagonal line
(the leftmost square) are identified, is a Möbius strip

Илл. 7. Лента Мёбиуса
Fig. 7. Möbius strip

Остановимся подробнее на свойствах данной конструкции. Во-первых, заметим, что при движении поперек ленты Мёбиуса (вдоль перпендикулярного ее краю отрезка) голоса интервала смещаются в противоположные стороны на одинаковое число тонов. Эта траектория соответствует направлению, перпендикулярному фиолетовой диагонали на иллюстрации 5. Во-вторых, при следова­нии вдоль ленты Мёбиуса (перпендикулярно поперечным направлениям) интервал транспонируется. В-третьих, при перемещении под углом в 45° к краю ленты, изменяется высота только одного голоса. В-четвертых, по достижении края ленты дальнейшее движение происходит согласно оптическому правилу «угол падения равен углу отражения», поскольку край ленты Мёбиуса соответствует фиолетовой диагонали на иллюстрации 5. В-пятых, средняя линия ленты состоит из тритонов (линия тритонов выде­лена зе­леным на иллюстрации 5), каждый из которых, как известно, делит 12-тоновый звукоряд пополам. Тимочко считает, что голосоведение, образую­щееся между двумя интервалами, близкими к линии тритонов, будет более плавным.

Итак, всякую неупорядоченную пару зву­ков ¹⁶, каждый из которых рассматривается с учетом октавных отождествлений, можно закодировать точкой на ленте Мёбиуса. Последовательность интервалов соответствует некоторому пути на ней, отражаемому по оптическому правилу при подходе к краю.

В книге Тимочко [23] также приво­дится описание музыкально-теоретических свойств более общей конструкции (с любы­ми значениями n). В этом случае рассматривается пространство, которое образуется из n-мерного тора после склейки всех точек, получаемых перестановками координат. Эквивалентно, оно строится по n-мерной призме с «обобщенными треугольниками» ¹⁷, взятыми в качестве оснований. Для этого соединяются ее противоположные основания с некоторой подкруткой, причем боковые грани ведут себя подобно зеркалам. То, что образуется в результате этой операции, принято называть орбифолдом ¹⁸. При n = 1 такой призмой будет отрезок, основаниями которого являются две точки (нульмерные «обобщенные треугольники»); результат их соединения — окружность (см. илл. 4). При n = 2 ей станет квадрат (правый квадрат на иллюстрации 6), основаниями — два отрезка (одномерные «обобщенные треугольники»), результатом склейки — лента Мё­биуса (см. илл. 7).

Теперь можно реализовать любую последовательность аккордов из n звуков при помощи ориентированных кривых в склеенной призме. Перемещению вдоль ее высоты отвечает транспонирование аккорда (в случае ленты Мёбиуса движение осуществляется перпендикулярно поперечным линиям, то есть параллельно средней линии ленты). Следованию же вдоль некоторых перпенди­кулярных высоте призмы направлений соответствует смещение голосов, при котором одна их часть опускается на некоторый интервал, в то время как оставшиеся на него же поднимаются (в случае ленты Мёбиуса это ход поперек ленты). Имеются также некоторые другие n перпендикулярных направлений, при прохождении вдоль каждого из которых в соответствующей гармонической последовательности будет смещаться лишь один голос в аккорде, а остальные — оставаться неподвижными (в случае ленты Мёбиуса это движение под углом 45° к краю ленты). Еще одним важным соображением является то, что в вертикальной сердцевине призмы (то есть в окрестности ее оси сим­метрии) располагаются наиболее равно­мерно делящие октаву аккорды (в случае с ин­тер­валами — это линия тритонов, делящая ленту Мёбиуса пополам вдоль). Оптимальное (в некотором смысле, о котором будет сказано позже) голосоведение получается при проходе через эту сердцевину, если пара аккордов расположена недалеко от нее; иначе перемещение будет осуществляться через склеивающиеся основания. Вооружившись такой геометрической интерпретацией, Тимочко анализирует известные произведения академической музыки различных стилей, джаза и рока.

Начиная с цепочки соседних по вершине n-мерных кубов в сердцевине призмы, Ти­мочко строит обобщенный Tonnetz [24], заменяя каждый куб правильным октаэдром, и склеивая полученные многогранники подходящим образом ¹⁹. Из этого подхода следует, что Tonnetz удобно представлять как некую двойственную версию музыкальной решетки. Дискретность означает, что между соседними узлами решетки отсутствуют промежуточные звуки. В то же время музыкальная решетка непрерывна и не зависит от какой-либо темперации, поскольку выбираемая шкала деления основных тонов условна: можно с равным успехом взять 12 звуков, сдвинутых на любое число герц.

Теперь сделаем несколько замечаний от­но­сительно геометрического подхода к оп­ре­делению наиболее естественного или оп­ти­мального голосоведения в гармониче­ских последовательностях европейской тра­диции Нового и Новейшего времени, что стано­вится возможным при помощи му­зыкаль­ной решетки. Удачным для соединения двух аккордов может считаться такое их расположение, при котором соответствующие звукам точки на орбифолде будут нахо­диться на близком расстоянии ²⁰ (способ его изме­рения мы вольны варьировать). При этом функция расстояния должна вести себя так, чтобы исключить нежелательное голосоведе­ние между стоящими рядом аккордами. К сожалению, существование универсальной функции расстояния, охватывающей все пра­вила гармонии, едва ли возможно. Однако некоторые из них верны вне зависимости от конкретного выбора такой функции. Пристальное внимание данному вопросу уделено в первом приложении (Appendix A) книги Тимочко [23]. В дискретном варианте музыкальной решетки, то есть в Tonnetz, проблема геометрического определения гармонической близости также остается открытой [23, Appendix C].

Подход Тимочко не столь нагляден при работе с четырехголосием — сам автор конструкции признает этот недостаток. В недавно вышедшей книге [25] он разрабатывает систему плоских спиралевидных диаграмм, которая вместе с теорией аккордов-гамм (chords-as-scales) ²¹ являются более удобным инструментом анализа композиций. Однако вопросы практики не отменяют фундаментальной значимости и естественности музыкальной решетки и обобщенной Tonnetz как музыкально-теоретической концепции. Они позволяют взглянуть на ткань произведения — сколько бы в ней ни было голосов — при помощи чисто геометрических методов. Таким образом явно устанавливается соответствие между музыкой и геометрией, о котором говорили пифагорейцы.

Заметим, что любая звуковая система пере­даваема при помощи модели орбифолда в си­лу непрерывности ее конструкции: меж­ду любыми двумя узлами музыкальной ре­шет­ки в темперированном строе имеется бесконечное множество промежуточных частот, сочетание которых может быть изобра­жено точкой на орби­фолде. Это означает, что подход Тимочко применим не только по отно­ше­нию к европейской музыке.

Рассмотрим следующий пример. На первый взгляд может показаться, что восточная монодия соответствует путям на окружности. Однако на самом деле отдельно взятый звук этого одноголосия является вселенной [2, 186]: он может вибрировать на доли тона, одни обертоны выделяются более отчетливо по сравнению с другими. Поэтому каж­дая ступень звукоряда будет располагаться не на окружности, а на орбифолде более высокой размерности. С данной точки зрения потенциал подхода Тимочко еще не раскрыт, и множество вопросов на этом пути ждут своих исследователей.

Таким образом, рассмотрены в общих чертах основополагающие посылы теории, развиваемой Д. Тимочко в его книге [23]. Самой важной для нас частью концепции Ти­мочко является идея геометрической визуа­ли­зации аккордовой последовательности, ко­торую можно представить как путь на некотором орбифолде, образующемся при свертывании многомерной решетки отно­си­тельно отождествлений ее точек. Было отмечено, что равномерно темперированная версия Tonnetz Эйлера является частным слу­чаем более общей конструкции Тимочко, которая, в свою очередь, не зависит ни от какой темперации. Кроме того, сделано важное замечание о неочевидности геометрического критерия близости двух аккордов в смысле их гармонического соединения.

Конструкция музыкальной решетки, как и в случае с Tonnetz, потенциально может быть полезна в композиционном процес­се благо­даря геометрической интуиции, мо­де­­­ли­руе­мой кривыми на орбифолдах. Так, на лен­­те Мё­биуса можно вычерчивать раз­лич­­ные «узоры» и использовать получаю­щиеся гармонические последовательности при создании сочинений. Музыкальная ре­шет­­ка и обобщение Tonnetz Тимочко важны не только с му­зыкально-теоретической, но и с компози­ци­онной точки зрения. Здесь уместно вспом­нить о взаимодействии геометрической и му­зыкаль­ной интуиций, о чем было упомянуто в предыдущем разделе ²².

«Магические звезды» Загния

Примером того, как геометрия проявляет себя в музыкальном творчестве, является произведение «Магические звезды. Таблицы для фортепиано или других инструментов» (1982–2008) композитора, доцента Московской консерватории Сергея Загния. Кратко приведем здесь основные идеи «Таблиц». «Магическая звезда» — это некий аналог маги­ческого квадрата: она состоит из двух пе­ре­се­кающихся правильных треугольников (в форме Звезды Давида). В точках их пересечений, а также в вершинах расставлены без повто­рений натуральные числа от 1 до 12; сумма чисел по каждой стороне любого треуголь­ника одна и та же (как легко понять, 26), и равна таковой в вершинах «звезды». Всего имеется 6 магических звезд (см. илл. 8).

Илл. 8. «Магические звезды» С. Загния
Fig. 8. S. Zagny’s “Magic Stars”

Загний использует эти конфигурации для получения мелодий и аккордовых последо­вательностей, предлагая исполнять звуки «звезд» согласно определенной геометрической стратегии. Например, можно двигаться по сторонам фигуры, как аккордами, так и отдельными звуками. При этом строгие ограничения в отношении ритмического рисунка отсутствуют: звуки можно пропускать, а аккорды — обращать, и так далее. «Магические звезды» являются своего рода плодородной средой, которую каждый имеющий базовые навыки игры на каком-либо музыкальном инструменте способен использовать, чтобы «прорастить» в ней свои творческие замыслы.

«Таблицы» Загния основаны на различных преобразованиях «магических звезд», которые допустимо расположить на нотном стане с поворотом, разложить на части, деформировать. Помимо этого, с каждой «звездой» можно ассоциировать последовательность звуков (называемую в «Таблицах» stars in base-k mode), строящуюся по представлениям натуральных чисел от 1 до 12 в k-ичной системе счисления (для каждого натурального k от 2 до 13). При этом цифры 0,…, 9, A, B, C каждого такого k-ичного представления интерпретируются как звуки (с повторами). Например, при k = 2 получаются двоичные цепочки из нулей и единиц, которые соответствуют любым двум различным звукам (скажем, c и d).

Подобно додекафонии, складывается система, построенная на 12 различных звуках, аналог метода 12-тоновой матрицы (своеоб­разного магического квадрата), — правило «ма­гической звезды». Концепция Загния обладает большей свободой, поскольку главные правила додекафонии (обязательная пре­зен­тация всех звуков ряда, запрет повторов до окон­чания его изложения) могут быть нарушены. В системе «магических звезд» допускается применение всех додекафонных преобразований: ракоход, инверсия и их сочетания в любом порядке.

Отметим, что геометричность присуща и другим произведениям Сергея Загния. Например, в сочинении для четвертитонового фортепиано ²³ можно найти десять расположенных вдоль краев листа квадратов 16 × 16 и один такой же в центре, на каждом из которых отмечено по 15 точек. В самой партитуре комментарии отсутствуют, однако из контекста ясно, что во всяком квадрате фиксиру­ется полное прохождение 15 звуков четвертито­но­вого лада, причем вертикальная координа­та каждой точки соответствует высоте звука или — что равнозначно — его ступени (например, для медианного лада высота 1 = c, 2 = d, пониженному на четверть тона, и так далее), а горизонтальная координата явля­ется порядковым номером исполнения звука на инструменте. Таким образом, каждый квадрат служит как бы звуковой картой-схемой. Изобра­жение на центральном квадрате чем-то напоминает загадочную птицу. Она будто бы облетает вокруг центра листа, и «фотографии-квадраты» по периферии запечатлевают ее в движении. При этом в каждый момент времени она симметрична относительно диа­гонали северо-запад — юго-восток.

Итак, на примере произведений С. Загния мы снова увидели взаимодействие геометрической и музыкальной интуиций. Иллюстрируемое предположение о том, что 12 тонов можно организовать в различных гео­метрических конфигурациях, имеет прямое отношение к предлагающейся ниже авторской гармонической технике музыкальных икосаэдров.

Техника музыкальных икосаэдров

Вдохновившись системой «магических звезд», Tonnetz и методом Тимочко, предложим оригинальную систему композиции. Напомним, что икосаэдр (см. илл. 10) — это один из пяти правильных многогранников (или платоновых тел), геометрия и комбинаторика которых были хорошо изучены еще в Древней Греции [22]. Читатель также может вспомнить изображение (см. илл. 9) вложенных друг в друга правильных многогранников, вписанных в сферы и описанных около них же (орбиты соответствующих планет), из знаменитого трактата Иоганна Кеплера «Mysterium Cosmographicum» [20].

Илл. 9. Орбиты планет по Кеплеру [20, 24–25]
Fig. 9. Orbits of planets according to Kepler
Источник: archive.org

Илл. 10. Икосаэдр
Fig. 10. Icosahedron

Удобно изображать выпуклый многогран­ник в виде плоской диаграммы следующим образом. Представим, что одна из его граней сделана из прозрачного материала, в то время как другие — из непроницаемого. По­смотрим через прозрачную грань — и то, что мы увидим, будет называться диаграммой мно­­гогранника ²⁴ (например, на иллюстрации 12 пред­ставлена ²⁵ диаграмма додекаэдра, изо­браженного на иллюстрации 11).

Илл. 11. Додекаэдр
Fig. 11. Dodecahedron

Илл. 12. Диаграмма додекаэдра с выбранным на нем фиолетовым гамильтоновым путем
Fig. 12. The diagram of a dodecahedron with a purple Hamiltonian path highlighted on it

Каждому выпуклому многограннику P по­ставим в соответствие другой — P’, называемый двойственным к P: вершинами P’ будут служить центры граней исходного P, причем две вершины v и w многогранника P’ соединяются ребром vw, когда соответствующие им грани Fv и Fw многогранника P имеют общее ребро. Несложно увидеть, что P будет правильным лишь в случае, если P’ будет правильным. Таким образом, куб двойственен октаэдру, тетраэдр двойственен самому себе, икосаэдр и додекаэдр двойственны друг другу (см. илл. 13).

Илл. 13. Пары двойственных правильных многогранников [19, 181]
Fig. 13. The pairs of dual regular polytopes
Источник: archive.org

На диаграмме додекаэдра (см. илл. 12) числами от 1 до 12 отмечены середины всех его граней. Отметка с номером 10, которая присвоена самому крупному пятиугольнику со сторонами-краями данной диаграммы (напомним, через нее мы смотрели, когда рисовали диаграмму додекаэдра), не показана по эстетическим соображениям. Из вышесказанного следует, что данная нумерация граней додекаэдра задает нумерацию вершин двойственного ему икосаэдра.

Пусть номера 1,…,12 последовательно соответствуют высотам хроматического звукоряда, начиная со звука c. Обойдем все грани икосаэдра, двигаясь лишь по тем, которые имеют общее ребро, и получим некоторый путь. С каждым из них соотнесем гармоническую последовательность следующим образом. Всякой грани соответствуют три звука в ее вершинах, из которых складывается аккорд. Удобнее, однако, рассматривать пути не по граням икосаэдра, а, эквивалентно, по вершинам и ребрам на двойственном многограннике, то есть на доде­каэдре.

Итак, чтобы представить путь, проходящий по всем граням икосаэдра однократно, достаточно рассмотреть путь, следующий однократно по всем вершинам додекаэдра вдоль ребер (в дальнейшем, говоря о «пути», будем понимать тот, что обладает описанным свойством). На иллюстрации 12 он выделен фиолетовым цветом, стрелками обозначено направление движения. Нумерация, напомним, отвечает числовым обозначениям вершин двойственного икосаэдра.

Таким образом, каждый аккорд соотно­сится с вершиной додекаэдра и состоит из звуков, приписанных содержащим ее граням. Пусть номера 1,…, 12 последовательно соответствуют высотам хроматического звукоряда, начиная со звука c. Например, первая вершина пути (отмечена утолщенной точкой) дает аккорд h–fis–a (см. илл. 12), поскольку она лежит в гранях с номерами 12, 7 и 10 (напомним, что десятая грань принадлежит самому крупному пятиугольнику); вторая — аккорду h–a–f; третья — f–a–d, и так далее. Полученный путь дает гармоническую последовательность трехзвучных аккордов (см. пример 1).

Пример 1. Гармоническая последовательность, полученная в результате прохождения пути, показанного на иллюстрации 12
Example 1. The harmonic sequence obtained by following the path shown in Figure 12

Деформациями икосаэдра можно сокращать число его граней — в таком случае они будут иметь большее количество сторон. На двойственном додекаэдре эта процедура аналогична склеиванию вершин: смежные с ними ребра и грани стягиваются и соединяются. Например, при стягивании цветных отрезков, изображенных на иллюстрации 14, из додекаэдра получается диаграмма пяти­угольного барабана (см. илл. 15).

Илл. 14. Стягиваемые цветные ребра
Fig. 14. Contractible colored edges

Илл. 15. Пятиугольный «барабан»
Fig. 15. Pentagonal “drum”

Звуки на вершинах объединенных граней икосаэдра образуют более чем трехзвучные аккорды (в нашем случае — четырехзвучные). На двойственной диаграмме они складыва­ются из звуков, относящихся к граням с общей вершиной. В этом случае нужно исполнять все звуки, попадающие в плоскость слияния. В результирующей гармонической последовательности возникнут повторяю­щиеся аккорды, поскольку путь проходит через все вершины додекаэдра (и поэтому он будет самопересекающимся после отождествлений вершин). Результат проделанных опе­раций представлен в примере 2.

Пример 2. Гармоническая последовательность, полученная в результате прохождения пути, показанного на иллюстрации 15
Example 2. The Harmonic sequence obtained by following the path shown in Figure 15

Пути, в которых начало совпадает с концом — циклы — занимают особое место. При­­мер такого цикла представлен на иллю­стра­ции 16. Ирландскому математику Уильяму Гамильтону приписывается изобретение в 1859 го­ду игры «Икосиан», или «Кругосветное путешествие» (см. в [26]). Суть ее заключа­ется в том, чтобы придумать путешествие (цикл) по странам (вершинам додекаэдра), по­бывав в каждой ровно один раз, и вер­нуться на родину. В честь У. Гамильтона были названы пути (и циклы, если таковые име­ются), проходящие однократно каждую вершину ка­кого-­либо многогранника. Особенностью гармонических последовательностей, соответ­­ствую­щих гамильтоновым циклам, явля­ется совпадение двух звуков начально­го и конечного аккордов, что позволяет исполнять всю цепочку по кругу. Образец такой гармони­ческой последовательности трех­звучных аккор­дов для гамильтонова цикла на иллюстрации 16 представлен на примере 3 (точка старта такая же, как и в предыдущих примерах).

Илл. 16. Пример гамильтонова цикла
Fig. 16. Example of a Hamiltonian cycle

Пример 3. Гармоническая последовательность, полученная в результате прохождения цикла, показанного на иллюстрации 16
Example 3. The harmonic sequence obtained by following the path shown in Figure 16

Группа симметрий икосаэдра, состоящая из 120 элементов, позволяет производить перестановки 12 тонов при фиксированном обходе всех его граней. Перечислим все симметрии икосаэдра:

1. тождественное преобразование (од­на сим­метрия);
2. по четыре поворота относительно каж­дой из шести осей симметрии икосаэдра, проходящих через пары противоположных вершин (24 сим­мет­рии);
3. по одному повороту относительно каждой из пятнадцати осей сим­мет­рии икосаэдра, проходящих через середины противоположных ребер (15 симметрий);
4. по два поворота относительно каж­дой из десяти осей симметрии икосаэдра, проходящих через центры противоположных граней (20 сим­метрий);
5. отражения относительно пятнадцати плоскостей симметрии икосаэдра, проходящих через середины противоположных ребер (15 симметрий);
6. по четыре поворота относительно каждой из шести осей симметрии ико­саэдра, проходящих через пары противоположных вершин в композиции с отражением относительно перпендикулярной этой оси плоскости, проходящей через центр икосаэдра (24 симметрии);
7. по два поворота относительно каж­дой из десяти осей симметрии икосаэдра, проходящей через центры его противоположных граней в композиции с отражением относительно перпендикулярной этой оси плоскости, проходящей через центр икосаэдра (20 симметрий);
8. отражение относительно центра симметрии икосаэдра (одна симметрия).

Описав вокруг икосаэдра додекаэдр, так, что вершинами первого служат центры граней второго, можно заметить, что все перечисленные симметрии индуцируют соответствую­щие симметрии для додекаэдра, и наоборот.

В качестве примера рассмотрим мутацию (пример 4) высотного ряда исходной гармонической последовательности (пример 1), которая образуется благодаря вращению додекаэдра (илл. 12) вдоль оси симметрии, проходящей через середины граней с номерами 3 и 5 на угол 72° против часовой стрелки, если смотреть на грань 5 многогранника снаружи (результирующая диаграмма представлена на ил­люстрации 17).

Пример 4. Гармоническая последовательность, полученная в результате прохождения пути, показанного на иллюстрации 17
Example 4. The harmonic sequence obtained by following the path shown in Figure 17

Илл. 17. Результат поворота додекаэдра, изображенного на иллюстрации 12 вокруг оси, проходящей через середины граней 3 и 5 на угол 72° против часовой стрелки (смотря на грань номер 5 снаружи многогранника)
Fig. 17. The result of rotating the dodecahedron shown in Figure 12 around the axis passing through the centers of faces 3 and 5 by 72° counterclockwise (as viewed from outside the polyhedron, looking toward face 5)

После применения симметрий грани икосаэдра можно деформировать как было показано выше и получать мутации в гармонических последовательностях с бóльшим числом голосов. Композиции симметрий и де­формаций дают возможность осуществить разработку изначальной аккордовой цепочки.

Известно, что с точностью до симметрий на додекаэдре существует один (неориентированный) гамильтонов цикл, а без отождествлений симметричных циклов — 30 [14]. Автору настоящего исследования удалось установить, что имеется не менее 18 (неориентированных) гамильтоновых путей на додекаэдре с точностью до симметрий и не менее 1 620 без отождествлений симметричных путей.

Большое число комбинаций, возможных в системе музыкальных икосаэдров, не позволяет нам представить их, подобно «магическим звездам», каким-либо исчерпывающим списком. Это говорит, во-первых, о богатом потенциале системы, а во-вторых, о том, что она не является произвольной, поскольку подчиняется определенным правилам, имеющим под собой философское и математическое обоснование.

Конструкция обобщается на случай любого многогранника с 12 вершинами, для которого существует непрерывный путь, проходящий через центры всех его граней однократно. Но в этом случае группа симметрий многогранника окажется заведомо беднее, что повлияет на возможность мутаций.

Если додекафония — это музыка строго определенной комбинаторики 12 тонов (разрешенных симметрий серии, то есть четверной группы Клейна), концепция «магических звезд» Загния — музыка арифметики и симметрий «магических звезд», то техника му­зыкальных икосаэдров — это музыка симметрий правильных икосаэдра и додекаэдра, то есть в некотором смысле это музыка сфер.

Список источников

1. Акопян Л. О. Законы музыки Ксенакиса, не сформулированные им самим // Музыкальная академия. 2021. № 1. С. 40–59 DOI: 10.34690/127.
2. Ген-Ир У. История музыки Восточной Азии (Китай, Корея, Япония). Учебное пособие. СПб. : Пла­нета музыки, 2011. 544 с.
3. Голубев А. Музыка как художественная математика // Музыкальная академия. 1997. № 2. С. 133–137.
4. Окунева Е. Г. Сериальная техника в Западной Европе: история и эстетика, теория и практика. Дисс. ... доктора искусствоведения. Петро­за­водск: Петрозаводская гос. консерватория им. А. К. Гла­зунова, 2021, 538 с. URL: http://mosconsv.ru/upload/images/Documents/Diser­Doc­tor/okuneva_diss.pdf (дата обращения: 19.11.2024).
5. Переверзева М. В. Теория современной композиции: алгоритмическая музыка. Учебное пособие. М. : Российский гос. социальный университет, 2021. 155 с.
6. Хармс Д. И. Старуха. Рассказы, сцены, повесть / сост. В. Глоцер. М. : Юнона, 1991. 128 с.
7. Холопов Ю. Н., Кириллина Л. В., Кюрегян Т. С., Лыжов Г. И., Поспелова Р. Л., Ценова В. С. Музыкально-теоретические системы. Учебник. М. : Композитор, 2006. 632 с.
8. Цареградская Т. В. Сет-теория в США: Милтон Бэббитт и Аллен Форт // Искусство музыки: теория и история. 2012. № 6. С. 157–177.
9. Babbitt M. Twelve-tone invariants as compositio­nal determinants // Musical Quarterly. 1960. Vol. 46. No. 2. P. 246–259. URL: https://jstor.org/stable/­740374 (дата обращения: 12.07.2024).
10. Catanzaro M. J. Generalized Tonnetze // Journal of Mathematics and Music. 2011. Vol. 5. Iss. 2. P. 117–139. DOI: 10.1080/17459737.2011.614448.
11. Cohn R. Introduction to neo-Riemannian theory: a survey and a historical perspective // Journal of Music Theory. 1998. Vol. 42. No. 2. P. 167–180. DOI: 10.2307/843871.
12. Euler L. Tentamen novae theoriae musicae ex cer­tissismis larmoniae principiis dilucide expositae. Petropoli : Ex typographia Academiae Scientiarum, 1739. 312 p. URL: https://archive.org/details/bub_gb_aekmN1V98GcC (дата обращения: 21.07.2024).
13. Frederick L. Diatonic voice-leading transforma­tions // Music Theory Spectrum. 2023. Vol. 46. No. 1. P. 37–69. DOI: 10.1093/mts/mtad017.
14. Hopkins B. Hamiltonian paths on Platonic graphs // International Journal of Mathematics and Mathe­matical Sciences. 2004. Vol. 30. P. 1613–1616. DOI: 10.1155/S0161171204307118.
15. Imai Y. General theory of music by icosahedron 2: analysis of musical pieces by the exceptional musical icosahedra // ArXiv. 2021. URL: https://arxiv.org/pdf/2108.10294 (дата обращения: 21.07.2024). DOI: 10.48550/arXiv.2108.10294.
16. Imai Y. General theory of music by icosahedron 3: musical invariant and Melakarta raga // ArXiv. 2021. URL: https://arxiv.org/pdf/2109.12475 (дата обращения: 21.07.2024). DOI: 10.48550/arXiv.­2109.12475.
17. Imai Y., Dellby S. C., Tanaka N. General theory of music by icosahedron 1: a bridge between “artifi­cial” scales and “natural” scales // ArXiv. 2021. URL: https://arxiv.org/pdf/2103.10272 (дата обращения: 21.07.2024). DOI: 10.48550/arXiv.2103.10272.
18. Jevtić F. D., Živaljević R. T. Generalized Tonnetz and discrete Abel–Jacobi map // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2021. Vol. 57. No. 2. P. 547–567. DOI: 10.12775/TMNA.2020.049.
19. Kepler J. Harmonices mundi libri V. Lincii Austriae : sumptibus Godofredi Tampachii..., pr. by Ioannes Plancus, 1619. 256 с. URL: https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl (дата обращения: 19.11.2024).
20. Kepler J. Prodromus Dissertationum Cosmo­graphi­carum, Continens Mysterium Cosmographicum, De Admirabili Proportione Orbium Coelestium <...>. Tubingae : pr. by Georgius Gruppenbachius, 1596. 181 p. URL: https://archive.org/details/1596-kepler-prodromus-dissertationum-cosmographicarum-continens-mysterium-cosmographicum (дата обращения: 21.07.2024).
21. Rietsch K. Generalizations of Euler’s Tonnetz on triangulated surfaces // Journal of Mathematics and Music. 2024. Vol. 18. No. 3. P. 328–346. DOI: 10.1080/17459737.2024.2362132.
22. Shapiro S. Thinking about Mathematics. The Philo­sophy of Mathematics. Oxford, New York : Oxford University Press, 2000. xiii, 308 p.
23. Tymoczko D. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. New York : Oxford University Press, 2011. 480 p.
24. Tymoczko D. The Generalized Tonnetz // Journal of Music Theory. 2012. Vol. 56. No. 1. P. 1–52. DOI: 10.1215/00222909-1546958.
25. Tymoczko D. Tonality: An Owner’s Manual. New York : Oxford University Press, 2023. 612 p. DOI: 10.1093/oso/9780197577103.001.0001.
26. Weisstein E. W. Icosian gamе // Wolfram Math­World. URL: https://mathworld.wolfram.com/Icosian­Game.html (дата обращения: 21.07.2024).
27. Yust J. Generalized Tonnetze and Zeitnetze, and the topology of music concepts // Journal of Mathe­matics and Music. 2020. Vol. 14. No. 2. P. 170–203. DOI: 10.1080/17459737.2020.1725667.
28. Ziegler G. M. Lectures on Polytopes. Berlin, Heidel­berg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong : Springer-Verlag, 1995. 370 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-8431-1. (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 152.)